※모든 사진과 자료의 출처는 나동빈 [이것이 취업을 위한 코딩 테스트다] 입니다※
다이나믹 프로그래밍
다이나믹 프로그래밍은 메모리를 적절히 사용하여 수행 시간 효율성을 비약적으로 향상시키는 방법이다.
이미 계산된 결과(작은 문제)는 별도의 메모리 영역에 저장하여 다시 계산하지 않도록 한다.
다이나믹 프로그래밍의 구현은 일반적으로 두 가지 방식(탑다운과 보텀업)으로 구성된다.
다이나믹 프로그래밍은 동적 계획법이라고도 부른다.
일반적인 프로그래밍 분야에서의 동적(Dynamic)이란 어떤 의미일까?
자료구조에서 동적 할당(Dynamic Allocation)은 '프로그램이 실행되는 도중에 실행에 필요한 메모리를 할당하는 기법'을 의미한다.
반면에 다이나믹 프로그래밍에서 '다이나믹'은 별다른 의미 없이 사용된 단어이다.
다이나믹 프로그래밍의 조건
다이나믹 프로그래밍은 문제가 다음의 조건을 만족할 때 사용할 수 있다.
1. 최적 부분 구조 (Optimal Substructure)
큰 문제를 작은 문제로 나눌 수 있으며 작은 문제의 답을 모아서 큰 문제를 해결할 수 있다.
2. 중복되는 부분 문제 (Overlapping Subproblem)
동일한 작은 문제를 반복적으로 해결해야 한다.
피보나치 수열
피보나치 수열은 다음과 같은 형태의 수열이며, 다이나믹 프로그래밍으로 효과적으로 계산할 수 있다.
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89
점화식이란 인접한 항들 사이의 관계식을 의미한다.
피보나치 수열을 점화식으로 표현하면 다음과 같다. (앞에 두 수의 합이 그 다음 수이다.)
an = an-1 + an-2, a1 = 1, a2 = 1
피보나치 수열이 계산되는 과정은 다음과 같이 표현할 수 있다.
프로그래밍에서는 이러한 수열을 배열이나 리스트를 이용해 표현한다. (배열, 리스트를 테이블이라고 부르기도 한다.)
n번째 피보나치 수를 f(n)라고 할 때 4번째 피보나치 수 f(4)를 구하는 과정은 다음과 같다. (트리형)
이처럼 점화식으로 표현될 수 있는 구조 = 재귀함수 이용해서 프로그램상 작성 가능
f(4) 호출했을 때, 재귀적으로 f(3)과 f(2)를 호출해서 더한다.
f(3) 호출했을 때, 재귀적으로 f(2)와 f(1)을 호출해서 더한다.
피보나치 수열 : 단순 재귀 소스코드
#피보나치 함수 (Fibonacci Function)을 재귀함수로 구현
def fibo(x):
if x == 1 or x == 2: #재귀함수는 무한 루프를 돌지 않고 특정 지점에서 멈추게 한다 = 종료 조건
return 1 #첫번째 수 두번째 수 각각 1이다. 첫번째, 두번째 피보나치 수를 호출할 때 1을 내보낸다.
return fibo( x-1 ) + fibo( x-2 ) #그렇지 않다면 앞에 수와 앞앞 수를 더한 것을 피보나치 수로 한다.
print( fibo(4) )
(출력)
3
피보나치 수열의 시간 복잡도 분석
피보나치 수열의 시간 복잡도는 다음과 같다.
세타 표기법: θ(1.618...N)
빅오 표기법: O(2N)
빅오 표기법을 기준으로 f(30)을 계산하기 위해 약 10억 가량의 연산을 수행해야 한다.
그렇다면 f(100)을 계산하기 위해 얼마나 많은 연산을 수행해야 할까? 엄청 많이; 우주가 멸망할때까지ㅋ
피보나치 수열의 효율적인 해법 : 다이나믹 프로그래밍
다이나믹 프로그래밍의 사용 조건을 만족하는지 확인한다.
1. 최적 부분 구조: 큰 문제를 작은 문제로 나눌 수 있다.
2. 중복되는 부분 문제: 동일한 작은 문제를 반복적으로 해결한다.
피보나치 수열은 다이나믹 프로그래밍의 사용 조건을 만족한다.
메모이제이션 (Memoization) : 탑다운
메모이제이션은 다이나믹 프로그래밍을 구현하는 방법 중 하나이다.
한 번 계산한 결과를 메모리 공간에 메모하는 기법이다.
같은 문제를 다시 호출하면 메모했던 결과를 그대로 가져온다.
값을 기록해 놓는다는 점에서 캐싱(Caching)이라고도 한다.
탑다운 VS 보텀업
탑다운(메모이제이션) 방식은 하향식(재귀함수 이용)이라고도 하며 보텀업 방식은 상향식(반복문 이용)이라고도 한다.
다이나믹 프로그래밍의 전형적인 형태는 보텀업 방식이다.
결과 저장용 리스트는 DP 테이블이라고 부른다.
엄밀히 말하면 메모이제이션은 이전에 계산된 결과를 일시적으로 기록해 놓는 개념을 의미한다.
따라서 메모이제이션은 다이나믹 프로그래밍에 국한된 개념은 아니다.
한 번 계산된 결과를 담아 놓기만 하고 다이나믹 프로그래밍을 위해 활용하지 않을 수도 있다. (엄밀히 말하면, 개념 은 메모이제이션 !=다이나믹 )
피보나치 수열 : 탑다운 다이나믹 프로그래밍 소스코드
#한 번 계산된 결과를 메모이제이션(Memoization)하기 위한 리스트 초기화
d = [0] * 100 #0~99까지의 인덱스를 가지게 된다. 예제에서 99번째 피보나치 수 구하고자하기 때문
#피보나치 함수(Fibonacci Function)를 재귀함수로 구현 (탑다운 다이나믹 프로그래밍)
def fibo(x):
#종료 조건(1 혹은 2일 때 1을 반환)
if x==1 or x ==2:
return 1
#이미 계산한 적 있는 문제라면 그대로 반환
if d[x] != 0: #DP 테이블 값을 확인해서 0이 아닌 경우
return d[x]
#아직 계산하지 않은 문제라면 점화식에 따라서 피보나치 결과 반환
d[x] = fibo(x-1) + fibo(x-2) #더한 값을 리스트에 기록한다
return d[x]
print( fibo(99) )
(출력)
218922995834555169026
피보나치 수열 : 보텀업 다이나믹 프로그래밍 소스코드
#앞서 계산된 결과를 저장하기 위한 DP 테이블 초기화
d = [0] * 100
#첫 번째 피보나치 수와 두 번째 피보나치 수는 1로 초기화
d[1] = 1
d[2] = 1
n = 99
#피보나치 함수(Fibonacci Function) 반복문으로 구현(보텀업 다이나믹 프로그래밍)
for i in range(3, n+1): #3번째부터 n번째까지
d[ i ] = d[ i-1 ] + d[ i-2 ] #모든 피보나치 수 계산한다, 차례대로 각각의 항을 구한다, 작은 문제부터 구한다.
print( d[n] )
(출력)
218922995834555169026
피보나치 수열 : 메모이제이션 동작 분석
이미 계산된 결과를 메모리에 저장하면 다음과 같이 색칠된 노드만 처리할 것을 기대할 수 있다.
실제로 호출되는 함수에 대해서만 확인해 보면 다음과 같이 방문한다.
피보나치 수열 : 메모이제이션 동작 분석 소스코드
메모이제이션을 이용하는 경우 피보나치 수열 함수의 시간 복잡도는 O(N)이다.
d = [0] * 100
def fibo(x):
print( 'f(' + str(x) + ')', end=' ' )
if x==1 or x==2:
return 1
if d[x] != 0:
return d[x]
d[x] = fibo(x-1) + fibo(x-2)
return d[x]
fibo( 6 )
(출력)
f(6) f(5) f(4) f(3) f(2) f(1) f(2) f(3) f(4)
앞서 지수시간 만큼 걸리던 피보나치 수열 문제를 다이나믹 프로그램 적용하면 선형시간까지 복잡도를 줄일 수 있다.
다이나믹 프로그래밍 VS 분할 정복
다이나믹 프로그래밍과 분할 정복은 모두 최적 부분 구조를 가질 때 사용할 수 있다.
큰 문제를 작은 문제로 나눌 수 있으며, 작은 문제의 답을 모아서 큰 문제를 해결할 수 있는 상황
다이나믹 프로그래밍과 분할 정복의 차이점은 부분 문제의 중복이다.
다이나믹 프로그래밍 문제에서는 각 부분 문제들이 서로 영향을 미치며 부분 문제가 중복된다.
분할 정복 문제에서는 동일한 부분 문제가 반복적으로 계산되지 않는다.
분할 정복의 대표적인 예시인 퀵 정렬을 살펴보자.
한 번 기준 원소(Pivot)가 자리를 변경해서 자리를 잡으면 그 기준 원소의 위치는 바뀌지 않는다.
분할 이후의 해당 피벗을 다시 처리하는 부분 문제는 호출하지 않는다.
다이나믹 프로그래밍 문제에 접근하는 방법
주어진 문제가 다이나믹 프로그래밍 유형임을 파악하는 것이 중요하다
가장 먼제 그리디, 구현, 완전 탐색 등의 아이디어로 문제를 해결할 수 있는지 검토할 수 있다.
다른 알고리즘으로 풀이 방법이 떠오르지 않으면 다이나믹 프로그래밍을 고려해 보자.
일단 재귀 함수로 비효율적인 완전 탐색 프로그램을 작성한 뒤에 (탑다운) 작은 문제에서 구한 답이 큰 문제에서 그대로 사용될 수 있으면, 코드를 개선하는 방법을 사용할 수 있다.
일반적인 코딩 테스트 수준에서는 기본 유형의 다이나믹 프로그래밍 문제가 출제되는 경우가 많다.
개미전사
문제 설명
개미 전사는 부족한 식량을 충당하고자 메뚜기 마을의 식량창고를 몰래 공격하려고 한다. 메뚜기 마을에는 여러 개의 식량창고가 있는데 식량창고는 일직선으로 이어져 있다.
각 식량창고에는 정해진 수의 식량을 저장하고 있으며 개미 전사는 식량창고를 선택적으로 약탈하여 식량을 빼앗을 예정이다. 이때 메뚜기 정찰병들은 일직선상에 존재하는 식량창고 중에서 서로 인접한 식량창고가 공격받으면 바로 알아챌 수 있다.
따라서 개미 전사가 정찰병에게 들키지 않고 식량창고를 약탈하기 위해서는 최소한 한 칸 이상 떨어진 식량창고를 약탈해야 한다.
예를 들어 식량창고 4개가 다음과 같이 존재한다고 가정한다
{1, 3, 1, 5}
이때 개미 전사는 두 번째 식량창고와 네 번째 식량창고를 선택했을 때 최댓값인 총 8개의 식량을 빼앗을 수 있다. 개미 전사는 식량창고가 이렇게 일직선상일 때 최대한 많은 식량을 얻기를 원한다.
개미 전사를 위해 식량창고 N개에 대한 정보가 주어졌을 때 얻을 수 있는 식량의 최댓값을 구하는 프로그래밍을 작성하시오.
문제 조건
난이도 2 | 풀이시간 30분 | 시간제한 1초 | 메모리 제한 128MB
입력 조건
첫째 줄에 식량창고의 개수 N이 주어진다. (3 <=N <=100 )
둘째 줄에 공백을 기준으로 각 식량창고에 저장된 식량의 개수 K가 주어진다. (0 <=K <= 1,000)
출력 조건
첫째 줄에 개미 전사가 얻을 수 있는 식량의 최댓값을 출력하시오.
문제 해결 아이디어
예시를 확인해 보자. N=4일 때, 다음과 같은 경우들이 존재할 수 있다.
식량을 선택할 수 있는 경우의 수는 다음과 같이 8가지이다.
7번째 경우에서 8만큼의 식량을 얻을 수 있으므로 최적의 해는 8이다.
ai = i 번째 식량창고까지의 최적의 해 (얻을 수 있는 식량의 최댓값)
이렇게 정의한다면 다이나믹 프로그래밍을 적용할 수 있다.
왼쪽부터 차례대로 식량창고를 턴다고 했을 때,
특정한 i 번째 식량창고에 대해서 털지 안 털지의 여부를 결정하면,
아래 2가지 경우 중에서 더 많은 식량을 털 수 있는 경우를 선택하면 된다.
i-1 까지의 최적의 해와 i -2까지의 최적의 해에 현재값 더한 값 중에 결정한다.
2가지 경우 중 더 큰 해를 고른다.
큰 문제를 해결하기 위해 작은 문제 2문제를 사용한다.
ai = i 번째 식량창고까지의 최적의 해 (얻을 수 있는 식량의 최댓값)
ki = i 번째 식량창고에 있는 식량의 양
점화식은 다음과 같다.
ai = max(ai-1, ai-2+ki) 둘 중 더 큰 값을 고른다
한 칸 이상 떨어진 식량창고는 항상 털 수 있으므로 (i-3)번째 이하는 고려할 필요가 없다.
개미 전사 : 답안 예시
#정수 N을 입력 받기
n = int( input( ) )
#모든 식량 정보 입력 받기
array = list( map( int, input( ).split( ) ) )
#앞서 계산된 결과를 저장하기 위한 DP 테이블 초기화
d = [0] * 100 #최대 100까지 들어올 수 있기 때문이다
#다이나믹 프로그래밍 (Dynamic Programming) 진행 (보텀업)
d[0] = array[0] #첫번째 위치까지 최댓값
d[1] = max( array[0], array[1] ) #두번째 위치까지 최댓값, 더 큰 값 고른다
for i in range(2, n); #3번째 위치부터 n번째까지 옵티멀 솔루션 ?
d[ i ] = max( d[ i-1 ], d[ i-2 ]+array[ i ] ) #점화식
#계산된 결과 출력
print( d[ n-1 ] )
1로 만들기
문제 설명
정수 X가 주어졌을 때, 정수 X에 사용할 수 있는 연산은 다음과 같이 4가지이다.
1. X가 5로 나누어 떨어지면, 5로 나눈다
2. X가 3으로 나누어 떨어지면, 3으로 나눈다
3. X가 2로 나누어 떨어지면, 2로 나눈다
4. X에서 1을 뺀다
정수 X가 주어졌을 때, 연산 4개를 적절히 사용해서 값을 1로 만들고자 한다.
연산을 사용하는 횟수의 최솟값을 출력하라.
예를 들어 정수가 26이면 다음과 같이 계산해서 3번의 연산이 최솟값이다.
26 → 25 → 5 → 1
문제 조건
난이도 1.5 | 풀이시간 20분 | 시간제한 1초 | 메모리제한 128MB
입력조건
첫째 줄에 정수 X가 주어진다 (1<=X <= 30,000)
출력조건
첫째 줄에 연산을 하는 횟수의 최솟값을 출력한다
문제 해결 아이디어
피보나치수열 문제를 도식화한 것처럼 함수가 호출되는 과정을 그림(트리 구조)으로 그려보면 다음과 같다.
최적 부분 구조와 중복되는 부분 문제를 만족한다.
각각의 값을 구하기 위해서 그보다 작은 값들이 사용된다.
매 상황마다 가능하면 최대 4가지 상황에 대해서 각각 부분 문제를 확인해 본다.
그 부분 문제 중에서 가장 작은 값을 구해서 +1 한 값으로 옵티몰 솔루션 값을 구한다.
ai= i 를 1로 만들기 위한 최소 연산 횟수
점화식은 다음과 같다.
ai = min (ai , ai/2 , ai/3 , ai/5 ) + 1 4가지 경우에서 가장 작은 값을 고른 뒤에 1을 더한다
단, 1을 빼는 연산을 제외하고는 해당 수로 나누어떨어질 때에 한해 점화식을 적용할 수 있다.
1로 만들기 : 답안 예시
#정수 x를 입력 받기
x = int( input( ) )
#앞서 계산된 결과를 저장하기 위한 DP 테이블 초기화
d = [0] * 30001 #30000까지 테이블 만든다.
#다이나믹 프로그래밍(Dynamic programming) 진행 (보텀업)
for i in range( 2, x + 1 ) #2인 경우부터 구한다, 1은 자기자신이 1이어서 연산 수행할 필요 없다
#현재의 수에서 1을 빼는 경우
d[ i ] = d[ i-1 ] + 1
#현재의 수가 2로 나누어 떨어지는 경우
if i % 2 == 0:
d[ i ] = min (d[ i ], d[ i // 2 ] + 1 ) #매번 min 함수를 호출해서 더 작은 값이 있다면 바꿀 수 있도록 한다
#현재의 수가 3으로 나누어 떨어지는 경우
if i % 3 == 0:
d[ i ] = min (d[ i ], d[ i // 3 ] + 1 )
#현재의 수가 5로 나누어 떨어지는 경우
if i % 5 == 0:
d[ i ] = min (d[ i ], d[ i // 5 ] + 1 )
print( d[x] )
효율적인 화폐 구성
문제 설명
N가지 종류의 화폐가 있다. 이 화폐들의 개수를 최소한으로 이용해서 그 가치의 합이 M원이 되도록 하려고 한다. 이때 각 종류의 화폐는 몇개라도 사용할 수 있다.
예를 들어 2원, 3원 단위의 화폐가 있을 때는 15원을 만들기 위해 3원을 5개 사용하는 것이 가장 최소한의 화폐 개수이다.
M원을 만들기 위한 최소한의 화폐 개수를 출력하는 프로그램을 작성하시오.
문제 조건
난이도 2 | 풀이 시간 30분 | 시간 제한 1초 | 메모리 제한 128MB
입력 조건
첫째 줄에 N, M이 주어진다 ( 1<= N <=100, 1<= M <= 10,000 )
이후의 N개의 줄에는 각 화폐의 가치가 주어진다. 화폐의 가치는 10,000보다 작거나 같은 자연수이다.
출력 조건
첫째 줄에 최소 화폐 개수를 출력한다
불가능할 때는 -1을 출력한다.
문제 해결 아이디어
ai = 금액 i 를 만들 수 있는 최소한의 화폐 개수 (금액 M을 만드는 것이 목표지만 작은 문제부터 해결한다.)
k = 각 화폐의 단위
점화식 : 각 화폐 단위인 k를 하나씩 확인하며
ai-k 를 만드는 방법이 존재하는 경우, ai = min ( ai, ai-k +1 ) 더 작은 값으로 갱신한다
ai-k를 만드는 방법이 존재하지 않는 경우, ai = INF
N =3, M=7이고, 각 화폐의 단위가 2, 3, 5인 경우 확인해 보자.
[Step 0] 초기화
먼저 각 인덱스에 해당하는 값으로 INF(무한)의 값을 설정한다.
INF은 특정 금액을 만들 수 있는 화폐 구성이 가능하지 않다는 의미를 가진다.
본 문제에서는 10,001을 사용할 수 있다.
[Step 1]
첫 번째 화폐 단위인 2를 확인한다. (i-2를 만들 수 있다면, 금액 i 또한 만들 수 있다.)
점화식에 따라서 다음과 같이 리스트가 갱신된다.
[Step 2]
두 번째 화폐 단위인 3을 확인한다.
점화식에 따라서 다음과 같이 리스트가 갱신된다.
[Step 3]
세 번째 화폐 단위인 5를 확인한다.
점화식에 따라서 다음과 같이 최종적으로 리스트가 갱신된다.
효율적인 화폐 구성 : 답안 예시
#점수 N, M을 입력 받기
n, m = map( int, input( ).split( ) )
#N개의 화폐 단위 정보를 입력받기
array = [ ]
for i in range(n):
array. append( int( input( ) ) )
#한 번 계산된 결과를 저장하기 위한 DP 테이블 초기화
d = [10001] * (m+1) #0원부터 m원까지 각각의 금액에 대한 최소한의 화폐 개수를 구하고자 함
#다이나믹 프로그래밍(Dynamic Programming) 진행(보텀업)
d[0] =0 #0원은 아무것도 사용 안 해도 만들 수 있는 금액 # i는 각각의 화폐단위, j는 각각의 금액 의미한다
for i in range(n): #점화식 #각각의 화폐 단위에 대해서 →
for j in range( array[i], m+1 ): #모든 금액을 확인하며 →
if d[ j - array[i] ] != 10001: # 현재 금액에서 화폐 단위를 뺀 = (i-k)원을 만드는 방법이 존재하는 경우
d[ j ] = min ( d[ j ], d[ j - array[i] ]+1 ) #금액에 대한 옵티멀 솔루션을 갱신한다 !#더 작은값을 갱신한다
#계산된 결과 출력
if d[m] == 10001: #최종적으로 M원을 만드는 방법이 없는 경우
print(-1)
else: #존재하면 출력
print(d[m])
금광
문제 설명
n x m 크기의 금광이 있다. 금광은 1 x 1 크기의 칸으로 나누어져 있으며 각 칸은 특정한 크기의 금이 들어있다.
채굴자는 첫번째 열부터 출발하여 금을 캐기 시작한다. 맨 처음에는 첫번째 열의 어느 행에서든 출발할 수 있다.
이후에 m-1번에 걸처서 매번 오른쪽 위, 오른쪽, 오른쪽 아래 3가지 중 하나의 위치로 이동해야 한다.
결과적으로 채굴자가 얻을 수 있는 금의 최대 크기를 출력하는 프로그램을 작성하시오.
문제 조건
난이도 2 | 풀이 시간 30분 | 시간 제한 1초 | 메모리 제한 128MB
입력 조건
첫째 줄에 테스트 케이스 T가 입력된다 (1<= T <= 1000) 테스트 케이스 : 시작하는 숫자
매 테스트 케이스 첫째 줄에 n과 m이 공백으로 구분되어 입력된다. (1<= n,m <= 20)
둘째 줄에 n x m개의 위치에 매장된 금의 개수가 공백으로 구분되어 입력된다. (1 <= 각 위치에 매장된 금의 개수 <=100)
출력 조건
테스트 케이스마다 채굴자가 얻을 수 있는 금의 최대 크기를 출력한다. 각 테스트 케이스는 줄 바꿈을 이용해 구분한다.
문제 해결 아이디어
금광의 모든 위치에 대하여 다음의 세 가지만 고려하면 된다.
1. 왼쪽 위에서 오는 경우
2. 왼쪽 아래서 오는 경우
3. 왼쪽에서 오는 경우
세 가지 경우 중에서 가장 많은 금을 가지고 있는 경우를 테이블에 갱신해주어 문제를 해결한다.
array[ i ][ j ] = i행 j열에 존재하는 금의 양
dp[ i ][ j ] = i행 j열까지의 최적의 해 (얻을 수 있는 금의 최댓값)
점화식은 다음과 같다.
dp[ i ][ j ] = array[ i ][ j ] + max ( dp[ i-1 ][ j-1 ], dp[ i ][ j-1 ], dp[ i+1 ][ j-1 ] )
#현재 금의 양 #왼쪽 위 위치 #왼쪽 위치 #왼쪽 아래 위치
이때 테이블에 접근할 때마다 리스트의 범위를 벗어나지 않는지 체크해야 한다.
편의상 초기 데이터를 담는 변수 array를 사용하지 않아도 된다.
바로 DP 테이블에 초기 데이터를 담아서 다이나믹 프로그래밍을 적용할 수 있다.
금광 문제를 다이나믹 프로그래밍으로 해결하는 과정을 확인한다.
DP 테이블 초기화 → 첫 번째 열에 초깃값 넣는다 → 열 단위로 하나씩 확인하며 DP 테이블 갱신
반복.....가장 오른쪽에 있는 열에서 최댓값이 문제에서 요구하는 정답이다.
금광 : 답안 예시
#테스트 케이스 (Test Case) 입력
for tc in range( int( input( ) ) ):
#금광 정보 입력
n, m = map( int, input( ).split( ) )
array = list( map( int, input( ).split( ) ) )
#다이나믹 프로그래밍을 위한 2차원 DP 테이블 초기화
dp = [ ]
indx = 0
for i in range(n):
dp . append( array[ index: index+m ] ) #m단위로 슬라이싱해서 dp테이블에 담아준다.
index += m
#다이나믹 프로그래밍 진행 (보텀업)
for j in range( 1, m ): #열 기준, 각 열을 이동해가면서 확인
for i in range( n ):
#왼쪽 위에서 오는 경우
if i == 0: left_up = 0 #인덱스 벗어나면, 해당값=0
else: left_up = dp[ i-1 ][ j-1 ]
#왼쪽 아래에서 오는 경우
if i == n-1: left_down = 0 #인덱스 벗어나면, 해당값=0
else: left_down = dp[ i+1 ][ j-1 ]
#왼쪽에서 오는 경우
left = dp[ i ][ j-1 ]
dp[ i ][ j ] = dp[ i ][ j ] + max( left_up, left_down, left ) #현재 매립된 금의 값 + 3가지 중 가장 큰 값
result = 0
for i in range(n): #가장 오른쪽에 있는 열에 기록 되어 있는 값 중에서 ? 이해 안 되면 6강 58:36 확인하기
result = max( result, dp[ i ][ m-1 ] ) #가장 큰 값 찾는다
print( result )
병사 배치하기
문제 설명
N명의 병사가 무작위로 나열되어 있다. 각 병사는 특정한 값의 전투력을 보유하고 있다.
병사를 배치할 때는 전투력이 높은 병사가 앞쪽에 오도록 내림차순으로 배치하고자 한다.
다시 말해 앞쪽에 있는 병사의 전투력이 항상 뒤쪽에 있는 병사보다 높아야 한다.
또한 배치 과정에서는 특정한 위치에 있는 병사를 열외시키는 방법을 이용한다.
그러면서도 남아 있는 병사의 수가 최대가 되도록 하고 싶다.
예를 들어, N=7일 때 나열된 병사들의 전투력이 다음과 같다고 가정했다.
이때 3번 병사와 6번 병사를 열외시키면, 다음과 같이 남아 있는 병사의 수가 내림차순의 형태가 되며 5명이 된다.
이는 남아 있는 병사의 수가 최대가 되도록 하는 방법이다.
병사에 대한 정보가 주어졌을 때, 남아 있는 병사의 수가 최대가 되도록 하기 위해서 열외시켜야 하는 병사의 수를 출력하는 프로그램을 작성하시오.
문제 조건
난이도 1.5 | 풀이 시간 40분 | 시간 제한 1초 | 메모리 제한 356MB | 기출 핵심유형
입력 조건
첫째 줄에 N이 주어진다 (1<= N <=2,000)
둘째 줄에 각 병사의 전투력이 공백으로 구분되어 차례대로 주어진다.
각 병사의 전투력은 10,000,000보다 작거나 같은 자연수이다.
출력 조건
첫째 줄에 남아 있는 병사의 수가 최대가 되도록 하기 위해서 열외시켜야 하는 병사의 수를 출력한다.
문제 해결 아이디어
이 문제의 기본 아이디어는 가장 긴 증가하는 부분 수열 (Longest Increasing Subsequence, LIS)로 알려진 전형적인 다이나믹 프로그래밍 문제의 아이디어와 같다.
예를 들어 하나의 수열 array = {4, 2, 5, 8, 4, 11, 15}이 있다고 한다.
이 수열의 가장 긴 증가하는 부분 수열은 {4, 5, 8, 11, 15}이다.
본 문제는 가장 긴 감소하는 부분 수열을 찾는 문제로 치환할 수 있으므로, LIS 알고리즘을 조금 수정하여 적용하므로써 정답을 도출할 수 있다.
가장 긴 증가하는 부분 수열(LIS)알고리즘 확인해 보자.
D[i] = array[i]를 마지막 원소로 가지는 부분 수열의 최대 길이 라고 정의함
점화식은 다음과 같다.
모든 0 <= j < i 에 대하여, 원소 i, j
D[ i ] = max( D[ i ], D[ j ]+1 ) 점화식(현재값 vs. 앞에값+1 중 큰 값)에 따라 갱신하면 된다
if array[ j ] < array[ i ] 앞에 있는 원소(j)가 뒤에 있는 원소(i)보다 작다면 (증가하는 형태)
가장 먼저 입력 받은 병사 정보의 순서를 뒤집는다.
가장 긴 증가하는 부분 수열(LIS) 알고리즘을 수행하여 정답을 도출한다.
병사 배치하기 : 답안 예시
n = int( input( ) )
array = list( map( int, input( ).split( ) ) )
#순서를 뒤집어 '최장 증가 부분 수열' 문제로 변환
array .reverse( )
#다이나믹 프로그래밍을 위한 1차원 DP 테이블 초기화
dp = [ 1 ] * n
#가장 긴 증가하는 부분 수열(LIS) 알고리즘 수행
for i in range( 1, n ): #두번째 원소부터 마지막 원소까지
for j in range( 0, i ): #앞에 있는 모든 원소(j) = 첫번째 원소부터 i전까지
if array[ j ] < array[ i ]: #작은 경우에만
dp[ i ] = max( dp[ i ], dp[ j ]+1 ) #점화식
#열외해야 하는 병사의 최소 수를 출력
print( n - max(dp) ) #전체 n에서 해당값 뺀다
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