※모든 사진과 자료의 출처는 나동빈 [이것이 취업을 위한 코딩 테스트다] 입니다※
최단 경로 문제
최단 경로 알고리즘은 가장 짧은 경로를 찾는 알고리즘을 의미한다.
다양한 문제 상황
한 지점에서 다른 한 지점까지의 최단 경로
한 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로
모든 지점에서 다른 모든 지점까지의 최단 경로
각 지점은 그래프에서 노드로 표현
지점 간 연결된 도로는 그래프에서 간선으로 표현
다익스트라 최단 경로 알고리즘 개요
특정한 노드에서 출발하여 다른 모든 노드로 가는 최단 경로를 계산한다.
다익스트라 최단 경로 알고리즘은 음의 간선이 없을 때 정상적으로 동작한다.
현실 세계의 도로(간선)은 음의 간선으로 표현되지 않는다.
다익스트라 최단 경로 알고리즘은 그리디 알고리즘으로 분류된다.
매 상황에서 가장 비용이 적은 노드를 선택해 임의의 과정을 반복한다.
다익스트라 최단 경로 알고리즘
알고리즘의 동작 과정은 다음과 같다.
1. 출발 노드를 설정한다.
2. 최단거리 테이블을 초기화한다.
3. 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택한다.
4. 해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신한다.
5. 위 과정에서 3번과 4번을 반복한다.
알고리즘 동작 과정에서 최단 거리 테이블은 각 노드에 대한 현재까지의 최단 거리 정보를 가지고 있다
처리 과정에서 더 짧은 경로를 찾으면 '이제부터는 이 경로가 제일 짧은 경로야'라고 갱신한다.
B를 거쳐 가면 A까지 7에 갈 수 있네! 갱신
다익스트라 알고리즘 : 동작 과정 살펴보기
[초기 상태] 그래프를 준비하고 출발 노드를 설정한다.
거리는 1번 노드일 때는 0이고 다른 노드로 갈 때는 무한으로 설정한다.
[Step 1] 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드인 1번 노드를 처리한다
현재 값과 거처갈 때 값을 비교해서 더 짧은 값을 갱신한다.
[Step 2] 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드인 4번 노드를 처리한다.
3번 노드에서 현재값은 5이고, 거쳐갈 때 값은 1~4(1) + 4~3(3) = 4이므로 더 짧은 값을 갱신한다.
[Step 3] 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드인 2번 노드를 처리한다.
3번 노드에서 현재 값은 4이고, 거쳐갈 때 값은 1~2(2) + 2~3(3) = 5이므로 더 짧은 값을 유지한다.
4번 노드처럼 이미 방문한 노드라면 무시한다. 방문 처리한 노드는 이미 최단 거리가 결정되었기 때문이다.
[Step 4] 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드인 5번 노드를 처리한다.
3번 노드에서 현재 값은 4이고, 거쳐갈 때 값은 1~4~5(2) + 5~3(1) = 3이므로 더 짧은 값을 갱신한다.
[Step 5] 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드인 3번 노드를 처리한다.
2번 노드에서 현재 값은 2이고, 거쳐갈 때 값은 ~3(3) + 3~2(3) = 6이므로 더 짧은 값을 유지한다.
[Step 6] 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드인 6번 노드를 처리한다.
마지막 노드는 처리하지 않아도 된다. 앞서 확인했던 노드들의 최단거리 값은 바뀌지 않기 때문이다.
지금 문제에서는 6번 노드에서 출발하는 노드가 없어서 테이블 갱신되지 않는다.
다익스트라 알고리즘의 특징
그리디 알고리즘 : 매 상황에서 방문하지 않은 가장 비용이 적은 노드를 선택해 임의의 과정(갱신할지 안 할지)을 반복한다.
단계를 거치며 한 번 처리된 노드의 최단 거리는 고정되어 더 이상 바뀌지 않는다.
한 단계당 하나의 노드에 대한 최단 거리를 확실히 찾는 것으로 이해 할 수 있다
다익스트라 알고리즘을 수행한 뒤에 테이블에 각 노드까지의 최단 거리 정보가 저장된다.
완벽한 형태의 최단 경로를 구하려면 소스코드에 추가적인 기능을 더 넣어야 한다.
다익스트라 알고리즘 : 간단한 구현 방법
단계마다 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해
매 단계마다 1차원 테이블의 모든 원소를 확인(순차 탐색)합니다.
다익스트라 알고리즘 : 간단한 구현 방법 (Python)
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) #초기화 : 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
#노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map( int, input() .split() )
#시작 노드 번호를 입력받기
start = input( input() )
#각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [ [ ] for i in range( n+1 ) ]
#방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = [False] * (n+1)
#최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n+1)
#모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m) :
a, b, c = map( int, input() .split() )
#a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
graph[a] .append((b, c))
#방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node() :
min_value = INF
index = 0 #가장 최단 거리가 짧은 노드(인덱스)
for i in range( 1, n+1 ) :
if distance[i] < min_value and not visited[i] :
min_value = distance[i]
index = i
return index
#다익스트라 알고리즘
def dikstra(start) :
#시작 노드에 대해서 초기화
distance[start] = 0 #출발 노드 거리 0
visited[start] = True #출발 노드 방문처리
for j in graph[start] :
distance[ j[0] ] = j[1] #출발 노드에서 당장 도달할 수 있는 거리를 갱신하게 한다
#시작 노드를 제외한 전체 n - 1개의 노드에 대해 반복
for i in range(n -1) :
#현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문 처리
now = get_smallest_node()
visited[now] = True
#현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
for j in graph[now] :
cost = distance[now] + j[i] #현재까지 거리 + 연결된 거리값
#현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
if cost < distance[ j[0] ] : #기존 비용보다 작다면
distance[ j[0] ] = cost
#다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)
#모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range( 1, n+1 ) :
#도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
if distance[i] == INF :
print("INFINITY")
#도달할 수 있는 경우 거리를 출력
else :
print( distance[i] ) #각 노드까지의 최단거리 구한다
다익스트라 알고리즘 : 간단한 구현 방법 성능 분석
총 O(V)번에 걸처서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 매번 선형 탐색해야 한다.
따라서 전체 시간 복잡도는 O(V2)이다. (V : 노드의 개수)
일반적으로 코딩 테스트의 최단 경로 문제에서 전체 노드의 개수가 5000개 이하라면 이 코드로 문제를 해결할 수 있다.
하지만 노드의 개수가 10,000개를 넘어가는 문제라면 어떻게 해야 할까?
우선순위 큐(Priority Queue)
우선순위가 가장 높은 데이터를 가장 먼저 삭제하는 자료구조이다.
예를 들어 여러 개의 물건 데이터를 자료구조에 넣었다가 가치가 높은 물건 데이터부터 꺼내서 확인해야 하는 경우에 우선순위 큐를 이용할 수 있다.
Python, C++, Java 를 포함한 대부분의 프로그래밍 언어에서 표준 라이브러리 형태로 지원한다.
힙(Heap)
우선순위 큐(Priority Queue)를 구현하기 위해 사용하는 자료구조 중 하나이다.
최소 힙(Min Heap)과 최대 힙(Mix Heap)이 있다.
다익스트라 최단 경로 알고리즘을 포함해 다양한 알고리즘에서 사용된다
힙 라이브러리 사용 예제 : 최소 힙
import heapq
#오름차순 힙 정렬(Heap Sort) #힙은 기본이 오름차순(최소 힙)이다
def heapsort(iterable) : #리스트 or 튜플 등 iterable한 객체
h = []
result = []
#모든 원소를 차례대로 힙에 삽입
for value in iterable :
heapq .heappush(h, value) #특정리스트 h에 데이터 value를 넣는다
#힙에 삽입된 모든 원소를 차례대로 꺼내어 담기
for i in range(len(h)) :
result .append(heapq .heappop(h)) #특정리스트 h에서 데이터를 꺼낸다
return result
result = heapsort([1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 0])
print(result)
(출력)
[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
힙 라이브러리 사용 예제 : 최대 힙
import heapq
#내림차순 힙 정렬(Heap Sort)
def heapsort(iterable) :
h = []
result = []
#모든 원소를 차례대로 힙에 삽입
for value in iterable :
heapq .heapush(h, -value) #데이터의 부호를 바꿔서 넣는다
#힙에 삽입된 모든 원소를 차례대로 꺼내어 담기
for i in range(len(h))
result .append(-heapq .heappop(h)) #부호를 바꾸어서 꺼낸다
return result
result = heapsort([1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8, 0])
print(result)
(출력)
[9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1, 0]
다익스트라 알고리즘 : 개선된 구현 방법
단계마다 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택하기 위해 힙(Heap) 자료구조를 이용한다.
다익스트라 알고리즘이 동작하는 기본 원리는 동일하다
현재 가장 가까운 노드를 저장해 놓기 위해서 힙 자료구조를 추가적으로 이용한다는 점이 다르다.
현재의 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택해야 하므로 최소 힙을 사용한다.
다익스트라 알고리즘 : 동작 과정 살펴보기 (우선순위 큐)
[초기 상태] 그래프를 준비하고 출발 노드를 설정하며 우선순위 큐에 삽입한다.
[Step 1] 우선수위 큐에서 원소를 꺼낸다. 1번 노드는 아직 방문하지 않았으므로 이를 처리한다.
우선순위 큐에 넣을 때는 거리값이 갱신된 값을 넣는다. 우선순위가 높은(거리 짧은) 데이터부터 놓았다.
[Step 2] 우선순위 큐에서 원소를 꺼낸다. 4번 노드는 아직 방문하지 않았으므로 이를 처리한다.
[Step 3] 우선순위 큐에서 원소를 꺼낸다. 2번 노드는 아직 방문하지 않았으므로 이를 처리한다.
[Step 4] 우선순위 큐에서 원소를 꺼낸다. 5번 노드는 아직 방문하지 않았으므로 이를 처리한다.
[Step 5] 우선순위 큐에서 원소를 꺼낸다. 5번 노드는 아직 방문하지 않았으므로 이를 처리한다.
[Step 6] 우선순위 큐에서 원소를 꺼낸다. 3번 노드는 이미 방문했으므로 무시한다.
원소의 거리값이 현재 테이블의 거리값보다 더 크면 방문처리된 노드로 간주한다.
[Step 7] 우선순위 큐에서 원소를 꺼낸다. 6번 노드는 아직 방문하지 않았으므로 이를 처리한다.
[Step 8] 우선순위 큐에서 원소를 꺼낸다. 3번 노드는 이미 방문했으므로 무시한다.
다익스트라 알고리즘 : 개선된 구현 방법 (Python)
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = int(1e9) #초기화 : 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정
#노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기
n, m = map( int, input() .split() )
#시작 노드 번호를 입력받기
start = input( input() )
#각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [ [ ] for i in range( n+1 ) ]
#방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = [False] * (n+1)
#최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n+1)
#모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m) :
a, b, c = map( int, input() .split() )
#a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미
graph[a] .append((b, c)) 여기까지 간단한 다익스트라와 코드 동일하다
#다익스트라 알고리즘
def dijkstra(start) :
q = []
#시작 노드로 가기 위한 최단 거리는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
heapq .heappush(q, (0, start ))
distance[start] = 0
while q : #큐가 비어있지 않다면
#가장 최단 거리가 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
dist, now = heapq .heappop(q)
#현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
if distance[now] < dist : #현재 거리가 더 크다면 처리된 노드로 간주
continue
#현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
for i in graph[now] :
cost = dist + i[1] #현재노드까지 거리값 + 인접한 노드의 거리값
#현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
if cost < distance[ i[0] ] :
distance[ i[0] ] = cost #갱신한다
heapq .heappush(q, (cost, i[0] )) #우선순위 큐에 해당 정보 i[0]를 기록한다
#다익스트라 알고리즘을 수행 여기부터 간단한 다익스트라와 코드 동일하다
dijkstra(start)
#모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range( 1, n+1 ) :
#도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
if distance[i] == INF :
print("INFINITY")
#도달할 수 있는 경우 거리를 출력
else :
print( distance[i] ) #각 노드까지의 최단거리 구한다
다익스트라 알고리즘 : 개선된 구현 방법 성능 분석
힙 자료구조를 이용하는 다익스트라 알고리즘의 시간 복잡도는 O(ElogV)이다.
노드를 하나씩 꺼내 검사하는 반복문(while문)은 노드의 개수 V 이상의 횟수로는 처리되지 않는다.
결과적으로 현재 우선순위 큐에서 꺼낸 노드와 연결된 다른 노드들을 확인하는 총횟수는 최대 간선의 개수(E)만큼 연산이 수행될 수 있다.
직관적으로 전체 과정은 E개의 원소를 우선순위 큐에 넣었다가 모두 빼내는 연산과 매우 유사하다.
시간 복잡도를 O(ElogE)로 판단할 수 있다.
중복 간선을 포함하지 않는 경우에 이를 O(ElogV)로 정리할 수 있다.
O(ElogE) → O(ElogV2) → O(2ElogV) → O(ElogV)
1초 안쪽의 시간으로 최단거리 구할 수 있다.
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